你要打开哪扇门？
　　2007-07-16 11:51:55 来源:南方都市报
　　
　　　　黄永明
　　　　□媒体记者，北京
　　　　　　
　　　　很多时候，人们的错觉根深蒂固，而事情的真实情况却是反直觉的。比如说，很多人都有过这样的体验：在超市排队结账的时候，总是发现自己所在的队伍结算缓慢，而旁边队伍中的人很快就排到了收银机前。这是因为自己运气不好吗？或者就像“墨菲法则”所言，任何可能出岔子的事定会出岔子？
　　
　　　　韩雪涛在他的新书《从惊讶到思考——数学悖论奇景》中以数学概率的视角讨论了这个问题，他认为概率是“生活的真正指南”，直觉固然重要，但并不像看上去的那样可靠。上世纪九十年代在美国发生的一场大讨论也许是对这一观点的最好注解。
　　
　　　　1990年，美国《展示》杂志的专栏作者玛莉莲·莎凡收到了一名读者的提问：
　　
　　　　假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是1号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门，假设是3号门。他然后问你：“你想选择2号门吗？”那么，改变你的选择对你来说是一种优势吗？
　　
　　　　这个问题源自美国电视娱乐节目“让我们做个交易”(Let’s　Make　a　Deal)，后来被冠以节目主持人的名字：蒙提·霍尔问题。莎凡是吉尼斯世界纪录中智商最高的人，她对这一问题的解答是应该换，因为换了之后有2／3的概率赢得汽车，不换的话概率只有1／3。
　　
　　　　她的这一解答引来了大量读者信件，认为这个答案太荒唐了。有人说，如果这个解答代表了美国人的智力，那美国就没希望了。因为直觉告诉人们，既然参赛者是从三扇门中任选一扇，那么选中汽车的概率就是1／3，换另一扇门的话概率仍然是1／3。
　　
　　　　随后，包括《纽约时报》和数学期刊在内的众多媒体对这一问题展开了全国大讨论。在十年时间里，至少有40篇论文或专著探讨了这一问题。
　　
　　　　实际上，从数学上说，莎凡是对的。参赛者做出第一次选择时，会出现两种可能性：选到了山羊，或是选到了汽车。因为有两扇门背后都是山羊，所以参赛者选到山羊的概率是2／3；相应地，选到汽车的概率是1／3。此时，主持人打开了一扇背后是山羊的门，我们假设参赛者决定更改选择。那么，假如参赛者一开始选的是山羊(2／3的可能性)，那么他就会换到汽车；假如参赛者一开始选的是汽车(1／3的可能性)，他就会换到山羊。这也就是说，参赛者更改自己的选择便会有2／3的概率获得汽车。
　　
　　　　韩雪涛的书中收入了这个问题，并用几种不同的方法对答案作出了解释。许多人在很长一段时间里不能理解答案，或者看了解释之后仍会表示怀疑，是因为直觉的力量太顽固了。
　　
　　　　还有一种解释也许会对理解问题的答案有所帮助。假设主持人在参赛者面前摆出52张扑克，让参赛者任意抽取一张。假定参赛者一旦抽中黑桃A便会赢得奖励。那么现在，他抽取的这张牌正好是黑桃A的概率是1／52。好，接下来，主持人看了一遍手中剩下的51张牌，然后将其中50张翻开，让参赛者看到这50张全都不是黑桃A。主持人问参赛者：你现在想拿你手中的牌换我手中的牌吗？
　　
　　　　那么，此时参赛者该换吗？好的，这个游戏中有如下事实：第一，由于主持人拿了51张牌，所以，黑桃A有51／52的可能性在他手里；第二，主持人接下来有条理地除去了其中几乎所有的错误选择。这意味着，黑桃A实际上有51／52的可能性就在主持人手中，所以参赛者当然应该选择互换。
　　
　　　　这样解释其实只是把门从三扇增加到了52扇。如果52扇的解释能够理解的话，为什么三扇的不行呢？有人甚至写了电脑程序，以虚拟的游戏来证明莎凡的答案是正确的。
　　
　　　　韩雪涛的书中收录许多与“山羊还是汽车”同样有趣而令人惊讶的小问题。有趣的是，这本书与美国的业余数学家马丁·加德纳几十年前的书《从惊讶到思考—— 数学悖论奇景》同名。加德纳在他的书中收入了78个悖论，而韩雪涛在书中收入许多未被收入的或是新出现的悖论，至少有128个。博弈论悖论、微积分悖论、集合论悖论等类型的悖论是加德纳在书中未作详细论述的。
　　
　　　　这本书和韩雪涛前一本关于悖论的书《数学悖论与三次数学危机》分别向读者展示了悖论与我们生活的关系，以及悖论对数学发展所起到的助推作用。毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论和罗素悖论是他上一本书重点讨论的三个悖论，这三个悖论不但迷人而且对数学影响深远。
　　
　　　　实际上，蒙提·霍尔问题的身世可以追溯到莎凡收到来信之前一个世纪。十九世纪的那个问题是这样的：假设有三张桌子，每张桌子有一对抽屉；另有三对金属块，分别是金块－银块、金块－金块和银块－银块，把三对金属块分别放到三对抽屉里；随机打开一个抽屉，发现放在其中的是金块，那么同一个桌子另一个抽屉里也是金块的概率是多大？
　　
　　　　这个问题被称为“贝特朗箱子悖论”。直觉告诉人们，另一个抽屉里是金块和是银块的可能性为1比1，因为有两个桌子里是有金块的，其中一个包含了银块，而另一个全是金块。是这样吗？如果谁这样认为的话，那只能说，直觉又一次欺骗了他。
　　　　
　　　　□　延伸阅读
　　　　《数学悖论与三次数学危机》，韩雪涛著，湖南科学技术出版社2006年5月版，20.00元。